b. Определенное количество
§ 101
Количество, существенно положенное с содержащейся в нем определенностью, исключающей все прочие, есть определенное количество (Quantum), ограниченное количество.
Прибавление. Определенное количество есть наличное бытие количества, а чистое количество соответствует, напротив, бытию, степень же (которая будет рассмотрена далее) — для-себя-бытию. Что же касается перехода от чистого количества к определенному количеству, то он имеет свое основание в том, что, в то время как в чистом количестве различие как различие между непрерывностью и дискретностью имеется лишь в себе, в определенном количестве это различие, напротив, положено, и положено так, что отныне количество вообще выступает как различенное или ограниченное. Но этим самым определенное количество распадается вместе с тем на неопределенное множество определенных величин. Каждая из этих определенных величин, как отличная от других, образует единство, точно так же, как и последнее, рассматриваемое для себя, есть многое. Но таким образом определенное количество определено как число.
§ 102
Определенное количество находит свое развитие и полную определенность в числе, которое подобно своему элементу — единице (Eins) — содержит в себе как свои качественные моменты множество (Anzahl) со стороны момента дискретности и единство (Einheit) — со стороны момента непрерывности.
Примечание. В арифметике обычно формы исчисления даются как случайные способы действия над числами. [247]
Если есть необходимость и смысл в этих действиях, то этот смысл заключается в некоем принципе, а последний может лежать лишь в тех определениях, которые содержатся в самом понятии числа; мы здесь вкратце укажем этот принцип. Определения понятия числа суть определенное множество и единство ( Einheit ), а само число есть единство (Einheit) их обоих. Но единство в применении к эмпирическим числам есть только их равенство ; таким образом, принцип арифметических действий должен состоять в том, что числа ставятся в отношение единства и определенного множества и устанавливается равенство этих определений.
Так как сами единицы ( die Eins ) или сами числа безразличны друг к другу, то единство (die Einheit ), в которое они приводятся, вообще имеет видимость внешнего сочетания. Исчислять — значит поэтому вообще считать, и различие способов исчисления зависит только от качественного характера чисел, а принципом этого последнего являются определения единства и множества.
Нумерация есть первое действие, это — составление числа вообще, сочетание скольких угодно единиц. Но арифметическое действие есть исчисление и сочетание не просто единиц, а того, что уже представляет собой число.
Числа суть непосредственно и сначала совершенно неопределенно числа вообще; они поэтому вообще неравны; сочетание или исчисление таких чисел есть сложение.
Ближайшее за этим определение состоит в том, что числа вообще равны, они, следовательно, составляют одно единство, и имеется определенное множество таких чисел: исчисление таких чисел есть умножение, причем безразлично, как распределяются между обоими числами, между сомножителями, определенное множество и единство, какой из них принимается за определенное множество и какой — за единство.
Третью определенность представляет собой, наконец. равенство определенного множества и единства. Сочетание определенных так чисел есть возведение в степень ближайшим образом — возведение в квадрат. Дальнейшее возведение в степень есть формальное продолжение умножения числа на само себя неопределенное количество раз. Так как в этом третьем определении достигнуто полнейшее равенство единственного имеющегося различия (множества и единства), то не может быть больше арифметических действий, чем эти три. Сочетанию чисел [248] соответствует разложение чисел, согласно тем же определенностям. Поэтому наряду с тремя указанными действиями, которые могут быть названы положительными, существуют также и три отрицательных действия.
Прибавление. Так как число есть вообще определённое количество в его полной определенности, то мы пользуемся им для определения не только так называемых дискретных величин, но также и для так называемых непрерывных величин. Приходится поэтому также н ,в геометрии прибегать к помощи числа в тех случаях, в которых дело идет об указании определенных пространственных конфигураций и их отношений.
- 7613 просмотров